九年级上册数学第一章菱形的性质与判定

一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;

依据其定义,我们知道,菱形具有平行四边形的所有性质,此外,菱形还具有以下性质:

  • 菱形的四条边相等;
  • 菱形的对角线互相垂直;

那我们如何证明这两个性质呢?

证明如下:

九年级数学第一章第一节:菱形的性质及判定方法

已知条件,四边形ABCD为平行四边形,且AB=BC;

求证:

AB=BC=CD=DA,且BD⊥AC。

证明:已知ABCD为平行四边形,则有AB=CD,BC=AD(平行四边形的对边相等);

所以 AB=BC=CD=DA;

在▲ABC中,有∠BAC+∠ABD+∠DBC+∠BCA=180°,AB=BC(等腰三角形)

所以,∠BAC=∠BCA;

根据平行四边形定理有,∠ABD=∠BDC(AB∥DC),且∠BDC=∠CBD(▲BCD为等腰三角形);

所以∠ABD=∠CBD;

带入∠BAC+∠ABD+∠DBC+∠BCA=180°得,2(∠CAB+∠ABD)=180°,

所以∠CAB+∠ABD=90°,∠AOB=90°,即AC⊥BD,菱形得对角线互相垂直得证!

二、菱形的判定方法

1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

证明方法为上面的反推,这里不再赘述。

2、四条边相等的四边形是菱形;

以上就是菱形的性质及判定方法,你学会了吗?

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