历法中的数学
数学自古至今时时充斥于我们生活的角角落落，并对我们的生产和生活产生重大影响。天文中的历法同样也蕴含着数学的玄机。
我们现在使用的历法为国际通用的公历，又称阳历。公历有平年和闰年之分，平年有365天，其中二月有28天，闰年366天，其中二月有29天。公历中的闰法对闰年是这样规定的“四年一闰，百年少一闰，四百年加一闰”。为什么公历中要安排复杂的闰法呢？
公历中 闰年的算法
地球绕太阳一圈需时365天5时48分46秒，以天为单位化成分数即10463/43200
辗转相除法
将分数部分 10463/43200 展成连分数
渐进分数依次为
现在通行的办法是每四年一闰，每逢百年免闰一次，而每逢四百年又恢复一闰。
第一个渐近分数 1/4 告诉我们每四年一闰。
第三个渐近分数 8/33 告诉我们每三十三年八闰，即每九十九年二十四闰，为方便计，定为每一百年二十四闰，这就是逢百不闰的道理。
每四百年间，闰年的总数该为 3 x 31 + 4 x 1 = 97，若每百年 24 闰则 400 年有 96 闰，比实际需要的少了一次，故需再作调整，这就是逢 400 年恢复闰年的理由。
月相
其实这是由地球围绕太阳公转决定的。我们知道，地球绕太阳公转一圈的时间为365天5时48分46秒，而平年仅有365天，剩余的5时48分46秒是二者之间的误差，需要折算成天数，通过加闰的办法，即在二月份加一天，就可将积累的误差吸收掉。以天为单位，用分数的形式表现这个误差为：
a＝5/24＋48/24×60＋46/24×60×60=10463/43200≈0.2421991。
从这个分数算式可以看出，在43200年中，需要安排10463个闰年，而消除误差最好是均匀加闰，但却不便操作和记忆。如果我们用连分数即可提供方便记忆的闰法。
运用辗转相除法很容易得到误差a的连分数表示式为：a＝10463/43200＝1/4＋1/7＋1/1＋1/3＋1/5＋1/64。
由连续式可以看出，第一个渐进分数a1=1/4=0.25，说明每隔四年就应该加一天，这就是所谓的“四年加一闰”。由于它是个近似值，而不是精确值，因此还需要修正。第三个渐进分数为a3＝1/4＋1/7＋1/1＝8/33≈0.2424242……说明每隔33年就需要加8天，每隔99年需加24天就比较与实际接近。因此100年（与99近似）中应加24天，而不是加25天。这就是“百年少一闰”。如果始终按每100年加24天，那么43200年就应加432×24=10368
（天）。
由a＝10463/43200可以知道，经过43200年，就应该加10463天，这就比实际少加了95天，所以，闰法又有了“四百年加一闰”的修正。但是，按照这种规定，就可以算出43200年共加了10463天，比实际又多增加了13天，这又意味着每隔3323年就又多加了一天。而这些还需做进一步的修正。
从以上的介绍可以看出，现在使用的历法，其精确度是相当高的，但仍需要进行随时修正，而这一切，均与数学密不可分。
农历中的“十九年七闰”
中国传统历法
中国从古代一直沿用的历法为农历，它是由月球绕地球公转决定的。农历中的一个月，称为“朔望月”，约为29.5306天。由于地球绕太阳公转一周需要365.2422天，因此在一个公历年中应该设置“农历月”的个数为：365.2422/29.5306＝12＋10.8750/29.5306
从这个算式可以看出，如果每个农历年均设有12个月，那么就会产生a=10.8750/29.5306=0.3682621的误差。要想把这种积累的误差消除掉，就必须在农历年份中增加一个月，这个月就是闰月，这个年就称为闰年。那么，怎样增插闰月呢？这就需要先求出a的连分数表示式：
a＝1/2＋1/1＋1/2＋1/1＋1/1＋1/16＋1/1＋1/5＋1/2＋1/6＋1/2＋1/2
从上面的表示式可以看出，它的前六个逐次渐近分数依次为：a1＝1/2≈0.5，a2＝1/3≈0.3333333，a3＝3/8≈0.375，a4＝4/11≈0.3636364，a5＝7/19≈0.3684211，a6＝116/315≈0.368254。由此可得，a2＜a4＜a6＜a＜a5＜a3＜a1。这表明这些渐进分数是从左、右两个方向向a的真值逼近的。
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