群论在方程中的作用，就是它可以描述方程中的对称性。
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
= (x – x1)(x – x2)(x – x3)
= x^3 – (x1 + x2 + x3)x^2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3
= 0.
从上面的式子就可以获得根与系数的关系：
a = -(x1 + x2 + x3)，
b = x1x2 + x1x3 + x2x3，
c = -x1x2x3，
以上是3次方程的韦达定理。
如果是2次方程x^2 + ax + b = 0，就是人们熟知的a = -(x1 + x2), b = x1x2.
高次方程，实际上也一样。
既然要求根，那么先假设根已经求出来了，然后展开1次因式的乘积，就可以获得根与系数的关系。
1，韦达定理，关于根是对称的。
n次多项式方程里的第n-1次项的系数，是所有根的和的相反数。
3次方程里，这一项就是2次项。
2次方程里，这一项就是1次项。
常数项，是所有的根与(-1)^n的乘积，所以3次方程是c = -x1x2x3，而2次方程是b = x1x2：
(-1)^3 = -1, (-1)^2 = 1.
中间的第k项，都是从n个里任选k个根的乘积然后求和，前面的符号是(-1)^k.
对于3次方程来说，中间只有1项：
最高次项不算，从n-1次项开始计数，1次项在3次方程里是第2项，所以它是任选2个根的乘积然后求和。
从3个里选2个，与从3个里选1个是一样的，可能的选法都是3种。
所以，3次方程的1次项系数是：(x1x2 + x2x3 + x1x3)(-1)^2 = x1x2 + x2x3 + x1x3.
韦达定理的所有式子，在交换根的次序的情况下，都是不变的！
3次方程的韦达定理
也就是说，韦达定理对于根来说是对称的。
2，方程是根的多元对称函数，
如果把方程不看做未知数的函数，而是看做根的函数，那么它是根的多元对称函数。
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
= x^3 – (x1+x2+x3)x^2 + (x1x2 + x2x3 + x1x3)x -x1x2x3
= F(x1, x2, x3) = 0.
任意改变F(x1, x2, x3)中的x1, x2, x3的次序，结果都是不变的，因为它除了乘积就是加法。
如果有一个群G作用到根的下标上，那么F(x1, x2, x3)在G的作用下是不变的：
群G的作用就是改变下标的次序，群G里的每个元素g都是一种改变方式。
当方程是3次的时候，这种改变只有3! = 6种，也就是群G的元素个数只有6个！
当方程是5次的时候，这种改变有5! = 120种。
群G的元素个数叫做它的阶，一般用绝对值的符号表示。
当n = 5时，改变根的下标次序的这个群G的阶是：|G| = 5! = 120.
它与1, 2, 3, 4, 5的排列组合数是一样的，1,2,3,4,5的排列组合叫S5对称群。
（1,2,3的排列组合，叫S3对称群）
像韦达定理这样的函数叫做对称函数。
如果忽略掉符号(-1)^k，那么对称函数都是这样的：
右边是从n个里选k个不同的下标的所有可能乘积的求和。
如果一个高次方程能够求根，那么它的根一定是这样的。
所以，方程的系数，实际上是通过根的对称变化合成出来的。
求根公式，就是把这种对称合成再返回去。
要想通过求根公式把它返回去，那么合成系数的这个对称群，必须是可解群。
这是伽罗瓦定理的要求。
3，域的扩张与根的合成，
假设方程是(x – 2^0.5)(x – 3^0.5)(x – 5^0.5) = 0，那么展开之后它的系数是什么样的？
它在有理数Q上是多少维的向量空间？
里的元素，如果用有理数的坐标表示的话，基是多少维的？
多项式里的分裂域F（即包含方程的所有根的域）里的元素X，用有理数表示就是：
如果不把15^0.5添加到Q里，有理数是没法合成出15^0.5的：
它是两个根 3^0.5 和 5^0.5，根据韦达定理的对称性合成出来的。
合成的方式，就是在生成1次项的系数时，选择所有可能的2个根的乘积再求和，15^0.5是其中之一。
伽罗瓦在1831年证明了，分裂域的子域与伽罗瓦群的子群是一一对应的：方程的可解对应着伽罗瓦群的可解（可以看我之前的文章）。
伽罗瓦群与Sn对称群是同构的，它们要么都可解，要么都不可解。
4，群的可解，
群G的可解，指的是有一条从G直到单位元e的、换位子群的导出链。
G->G1->G2->…->Gn->e.
当有这么1条链的时候，群G对方程的根的作用，还可以变换回去。
怎么选择的根合成的系数，再怎么把系数拆回到根，也就是根式求解。
换位子群这个概念，是从乘法的交换律引出来的。
群，是集合与集合上的“广义乘法”，而广义乘法不一定像数字乘法那样符合交换律。
但是，群的单位元是符合交换律的：ae = ea，e是单位元。
所以，只要有一条换位子群的链能够到达单位元，群里的广义乘法就可以返回去。
这个“广义乘法”，在方程的求根问题上，就是根在合成系数时的排列组合。
每一步，都相当于Sn对称群里的一个“广义乘法元素”。
如果一个群的子集也是个群，就叫它的子群：因为群首先是个集合，其次是在集合上定义了乘法，最后是乘法要符合交换律、单位元、逆元、封闭。
如果G是一个群，K是它的正规子群，那么G可解的充要条件是：K可解，同时G/K可解。
（G/K，指的是属于G、但不属于K的元素组成的集合，叫商群）
正规子群的性质就是，aK = Ka，a属于G：也就是元素与它的乘法是符合交换律的。
G的换位子群G'，被包含在G的一个正规子群K里，并且G/G'是交换的。
5，S5对称群不可解，
元素个数有限的群，叫有限群。
拉格朗日证明了：有限群的阶（元素个数）能够被它的子群的阶整除。
S5对称群有120个元素，它的子群A5交错群有60个元素，是它的一半。
根据可解的充要条件，S5可解的前提是A5可解。
柯斯特利金说的：A5除了单位元e之外，还包含15个2阶元(i j)(k j)，20个3阶元(i j k)，24个5阶元(1, i1, i2, i3, i4).
(i j)表示把标号i变成j，把j变成i，它的作用是把标号i和j对换，例如：
(1 2)x1 = x2，(1 2)x2 = x1.
(i j k)表示把标号按照 i->j->k->i 的顺序循环变换，例如：
(1 2 3)(x1 – x2) = x2 – x3，(1 2 3)(x2 – x3) = x3 – x1.
2个的就是对换，多个的就是循环。
对换的就是交换群，循环的就是循环群，它们都是可解的。
（有兴趣的可以拿着1, 2, 3, 4, 5的排列组合去验证下，是不是可以这么拆开）
根据拉格朗日定理，A5的阶是60，它的子群K必须是单位元、2阶元、3阶元、5阶元的组合，而且K的阶（即元素个数）必须整除60。
也就是说，子群K的元素个数必须是60的因数，但不能是1和60！
如果是1，说明K是单位元e。
如果是60，说明K就是父群A5。
如果一个群的正规子群只有单位元e和它自身，那么它是不可解的，这叫单群：就跟素数17的因数只有1和17一样，它没法分解质因数。
|K| = 1 + a x 15 + b x 20 + c x 12 + d x 12，（1表示单位元e）.
24个5阶元分成12×2份，一个是(1 2 3 4 5)，另一个是(1 2 3 5 4).
60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。
a = b = c = d = 0，对应的|K| = 1。
a, b, c, d不全是0的时候：
1）a必须是1或3，因为只有15是奇数，其他的都是偶数。
如果a = 3，那么剩下的是60 – 1 – 45 = 14，它没法被拆成20和12的组合，无解。
所以a = 1，1 + 15 = 16.
2）超过16的因数只有20、30、60：
20 – 16 = 4，显然没法用20和12组合出来。
30 – 16 = 14，显然也没法用20和12组合出来。
60 – 16 = 44 = 1×20 + 2×12，但这么组合出来的 |K| = 60！[捂脸]
所以，A5不是可解群。
所以，S5不是可解群。
所以，一般5次方程没有根式解。
下图是法国大数学家，拉格朗日（1736-1813），最后用的定理是他的。
法国大数学家，拉格朗日，1736-1813
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